| Текст: | Под этим общим названием факультет Математики и Механики представил цикл работ проф. Л. В. Канторовича: 1) «Об одном алгорифме решения задач о минимуме квадратичных функционалов». 2) «О методе Ньютона для функциональных уравнений». 3) «К общей теории приближенных методов анализа». К ним присоединен и обзорный доклад, прочитанный автором на последней научной сессии Университета: «Функциональный анализ и прикладная математика». Он как бы служит введением ко всему циклу работ, давая общую характеристику направления исследования автора. Проф. Л. В. Канторович имеет уже большие заслуги как в области функционального анализа, так и в прикладной математике. Созданная им теория линейных полуупорядоченных пространств получила всеобщее признание и составляет важный раздел современного функционального анализа. Работы автора в этой области продолжены многими советскими и иностранными учеными. С другой стороны, хорошо известны и работы автора в прикладной математике: его метод приближенного конформного отображения и вариационный метод решения граничных задач математической физики систематически применяются, например, в теории упругости и даже вошли в некоторые учебные руководства. До недавнего времени эти две области интересов автора оставались обособленными одна от другой. Правда, в отдельных случаях намечались некоторые связи между ними, но важность и плодотворность сопоставления этих областей все же еще не выявились с полной убедительностью. В одних работах сами приложения к прикладному анализу не были значительными, в других же — мы имеем в виду обширный цикл работ автора по экстремальным задачам техники — блестящие приложения не были связаны с функциональным анализом органичным образом. Лишь в работах последних лет, о которых здесь идет речь, Л. В. Канторовичу удалось глубоко и систематически использовать функциональный анализ в теории приближенных методов. В первой работе «Об одном алгорифме решения задач о минимуме квадратичных функционалов» выдвигается и исследуется общий метод решения этих задач, который может быть назван МЕТОДОМ НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА. Он основан на интересной идее последовательного приближения к экстремальной точке путем передвижения в направлении градиента, всякий раз — до тех пор, пока это передвижение влечет за собой уменьшение функционала. Начав с построения алгорифма для решения систем алгебраических уравнений (§ 1), автор особенно детально и глубоко разрабатывает свой метод применительно к интегральным уравнениям 2-го рода и к задаче об определении собственных значений и собственных функций (§§ 2 и 3). Отметим быстроту сходимости алгорифмов, предлагаемых автором: например, при определении собственных значений в задаче о струне она характеризуется прогрессией со знаменателем порядка … < … > Далее автор переходит к обыкновенным дифференциальным уравнениям (§4) и к граничным задачам (§5). Здесь он столкнулся с весьма серьезными трудностями, которые успешно преодолевает с помощью тонкого анализа; в частности, автору пришлось использовать т. н. «обобщенные решения», введенные в свое время акад. С. Л. Соболевым. Последняя часть работы (§ 6) посвящена исследованию общего функционального уравнения в пространстве Гильберта, перекрывая в значительной степени результаты предыдущих параграфов. И в этой общей ситуации, глубоко используя теорию функциональных пространств, автору удается провести весьма полные оценки и исследования. Нужно отметить, что идея метода — В ПРИМЕНЕНИИ К ПРОСТОМУ АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ СЛУЧАЮ — восходит еще к Коши. К этой идее в работе 1939 г. вернулся английский математик Temple, но почти не продвинулся вперед по сравнению с Коши. В более поздние годы, одновременно с началом исследований самого Л. В., в Америке появился ряд работ, посвященных родственным вопросам. Но в этом соревновании зарубежных исследователей и молодого советского ученого все преимущества оказались на стороне последнего. Возьмем для примера работу Куранта, который наиболее близко подошел к идее метода наискорейшего спуска. Помимо того, что Курант рассматривает вопрос с несравненно меньшей общностью, он использует только «небольшие» передвижения по градиенту не уточняя — какие именно, так что его процесс лишен алгорифмического характера; в связи с этим он даже не ставит вопроса ни о сходимости процесса, ни об оценке погрешности. Между тем, Л. В. Канторович развив метод в самой общей форме, придал ему совершенную полноту и законченность. Созданные на его основе алгорифмические процессы сходятся и снабжены удобными оценками. Прикладная математика в их лице получила новые ценные средства для решения ряда важных классов ЛИНЕЙНЫХ задач анализа. Вторая работа «О методе Ньютона для функциональных уравнений» имеет в виду уже НЕЛИНЕЙНЫЕ задачи. Известно, что классический метод Ньютона для решения алгебраических уравнений является одним из наиболее эффективных методов, созданных для этой цели. Попытки расширить область его применения не выходили за пределы чисто алгебраических задач. Л. В. Канторович впервые установил тот (в достаточной степени неожиданный) факт, что та же идея, надлежащим образом модифицированная, может быть положена в основу построения ОБЩЕГО метода решения нелинейных проблем анализа. < … > Предложенный Л. В. аналог метода Ньютона имеет совсем иное поле применений. Принципиально говоря, он приложим ко всем нелинейным задачам — дифференциальным и интегральным уравнениям, граничным задачам. Автор намечает возможность использования его метода и для решения задачи о собственных значениях и элементах. В применении к некоторым из этих задач (напр., к нелинейным интегральным уравнениям) эффективность метода непосредственно проверена. Принятая автором абстрактная постановка вопроса оказалась весьма выгодной. Его общая теорема о сходимости метода служит источником многочисленных теорем, относящихся к конкретным типам уравнений и задач. В то же время — и это действительно представляется удивительным — полученные автором в такой общей трактовке условия сходимости и оценки ПРЕДЕЛЬНО ТОЧНЫ: они не могут быть улучшены даже для простейших из отдельных задач. Заслуживает быть особо отмеченным, что проведенное автором исследование имеет не только прикладной интерес. Основная теорема, доказанная здесь, предполагает наличие хотя бы ГРУБОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ, лишь удовлетворяющего определенным требованиям. Если такое приближение найдено — а это на практике зачастую нетрудно сделать — то упомянутая теорема позволяет заключить о существовании и единственности ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ, а также установить границы, в которых оно лежит. Практика здесь, так сказать, привлекается на помощь теории! Мы закончили рассмотрение первых двух работ Л. В. Канторовича, содержащих изложение новых методов для решения важнейших линейных и нелинейных проблем анализа. Они существенным образом дополняют тот арсенал разнообразных эффективных методов, которые были созданы за последнее полустолетие в ответ на потребности физики и высокой техники. Построению и исследованию этих методов были посвящены усилия целой плеяды первоклассных ученых, среди которых советские ученые занимают выдающееся место. Эти работы в совокупности и составили содержание целой новой научной дисциплины — прикладного анализа. Однако, для каждого метода и для каждого типа задач требовалось особое исследование — вопросов сходимости, быстроты приближения, оценки погрешности и т. п. До сих пор не существовало точки зрения, объединяющей и охватывающей все это многообразие методов в целом. Третья работа Л. В. Канторовича: «К общей теории приближенных методов» существенно продвигает решение именно этой важной и трудной задачи. Естественным было привлечение для этой цели функционального анализа. Попытки в этом направлении делались автором свыше десяти лет тому назад, но достаточно общих результатов получить не удалось. Основным препятствием к их достижению (как это стало ясным теперь) было рассматривание и точного и приближенного уравнений В ОДНОМ И ТОМ ЖЕ функциональном пространстве. Счастливая мысль — рассматривать эти уравнения в целесообразно выбранных РАЗЛИЧНЫХ пространствах, лежащая в основе последней работы Л. В., если не уничтожила трудностей, то все же открыла пути к их одолению. Именно она позволила выразить в общей абстрактной форме взаимоотношение между точным и приближенным уравнениями, которое характерно для всех приближенных методов. В первой главе своего мемуара автор, при весьма общих предпосылках, дает ряд теорем о связи между решением точного и приближенного уравнений. В одних, исходя из разрешимости точного уравнения, доказывается разрешимость приближенного уравнения, оценивается погрешность приближенного решения и устанавливается сходимость процесса. Другие, наоборот, на основании данных, доставляемых приближенным решением, позволяют заключить о существовании точного решения и о степени близости обоих. Хотя при проведении столь общих рассуждений автору приходится преодолевать значительные трудности, но все же — это нужно отметить — его доказательства изящны и сравнительно просты. Теория, развитая автором, в принципе охватывает все основные известные типы приближенных методов — разностные, вариационные, интерполяционные и др.; она может служить также источником для создания новых методов. Применение общей теории к конкретному вопросу позволяет сразу получить целый комплекс теорем, дающих полное исследование данного метода. Правда, обоснование права на ее применение, в одних случаях почти очевидное сразу, в других может потребовать проведения некоторых вспомогательных рассмотрений. Характерные примеры того и другого рода можно найти в главе второй, которая посвящена применению общей теории к конкретным видам уравнений. Так, в теории бесконечных систем выполнение условий проверяется непосредственно, и общая теория сразу приводит к ряду интересных теорем о методе редукции для бесконечных систем. Напротив, при исследовании распространенного метода приближенного решения интегральных уравнений путем сведения к алгебраическим системам (которое, кстати сказать, впервые здесь проводится с надлежащей полнотой) автору пришлось глубоко использовать также некоторые теоремы и тонкие оценки конструктивной теории функций. Не имея возможности сколько-нибудь исчерпать богатое содержание рецензируемой работы, я хотел бы — для характеристики ЭФФЕКТИВНОСТИ общей теории автора — остановиться еще на двух примерах из § 3, посвященного приближенному решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Вопросу о сходимости и оценке погрешности метода Ритца, чрезвычайно широко применяемого в технике, посвящено множество работ; из них наиболее замечательны исследования акад. Н. М. Крылова, которому принадлежит свыше десяти мемуаров и статей по этому вопросу. Автору же, в результате применения его теории, удается на немногих страницах перекрыть некоторые наиболее сильные достижения Н. М. Крылова. Другой пример: вопрос о сходимости метода Галеркина, выдвинутого еще в 1915 г. и также получившего широкое распространение, представлял трудную проблему, которая лишь в 1942 г. получила решение в работе акад. М. В. Келдыша. Между тем, и этот результат у Л. В. Канторовича получается почти непосредственно. При этом, кроме качественной картины, его подход позволяет сделать заключение и о быстроте сходимости метода. Исследования Л. В. Канторовича, в их совокупности, должны быть оценены высоко. Применение более мощных теоретических средств — функционального анализа оказалось плодотворным: с их помощью автор сумел не только дать новые общие методы для решения задач прикладного анализа, но и заложить основы для перестройки всей этой научной дисциплины в целом. Без преувеличения можно сказать, что самый уровень исследований в области прикладного анализа трудами автора поднят на более высокую ступень. Нельзя сомневаться, что работы, о которых здесь идет речь, не останутся без отклика, и по проложенному автором пути исследования будут продолжаться. Несмотря на абстрактный характер исследований автора, они приводят к целому ряду конкретных и точных результатов, имеющих непосредственно практическое значение. Мы видим здесь самое тесное слияние теории с практикой, продолжающее славные традиции Петербургской математической школы. Таким образом, самое направление творческих усилий автора заслуживает полного сочувствия и поощрения. Л. В. Канторовичем создана новая и актуально важная область исследований. Оригинальность концепций, неожиданность и плодотворность сопоставлений, блестящая научная инициатива, и, наконец, высокая практическая и теоретическая значимость полученных им результатов — все это дает Л. В. Канторовичу бесспорное право на первую премию Ленинградского Университета. Заслуженный деятель науки проф. Г. М. Фихтенгольц. 16/II. 1948 г. |