[Список Лекций] [Мой путь в науке] [Приближенные методы анализа] [<<] [<] [^] [>] [>>]

Мой путь в науке

Приближенные методы анализа

Канторович, 1932 г.

В конце двадцатых — начале тридцатых годов в связи с потребностями индустриализации огромное расширение получила вузовская сеть. В десятки раз увеличился прием студентов, число вузов. Многие вузы разделились. Так, на базе Ленинградского политехнического института было создано девять индустриальных институтов. Потребовалось большое число преподавателей, в том числе математиков. Например, первое время кафедрами математики во всех девяти выделившихся из Политехнического институтах заведовал Р. О. Кузьмин. Поэтому я по окончании университета получил семь различных предложений, так же, как и мои товарищи.

Выпуски тогда были небольшие, наш выпуск состоял из десяти человек, предыдущий — из семи. Правда, в их число входили С. Л. Соболев, С. А. Христианович, С. Г. Михлин, Б. Б. Девисон, Гоарик Амбарцумян (сестра В. А. Амбарцумяна), В. Н. Замятина (Фаддеева).

Будучи аспирантом университета, я одновременно работал в строительном институте, в первый год в должности ассистента, во второй — доцента, а на третий, что совпало с досрочным окончанием аспирантуры, — профессора. Одновременно в 1932 г. я был избран на должность профессора и заведующего кафедрой Института промышленного транспорта 15.

Не буду приводить различных анекдотических происшествий, случавшихся в ту пору со мной. Как-то, придя на лекцию для нового потока, я поднялся на кафедру в еще не утихомирившейся аудитории. Тотчас пара студентов стала стягивать меня — «Садись на место! Сейчас ведь профессор придет». Часто, однако, анекдотические случаи, происходившие в ту пору с молодыми преподавателями, пересказывались как произошедшие со мной.

Строительный институт, выделившийся из Политехнического, имел довольно сильный преподавательский состав. Его возглавлял известный специалист по теории упругости и строительной механике академик Борис Григорьевич Галёркин, у которого был целый ряд талантливых молодых учеников. Установились научные контакты. Это побудило меня познакомиться с прикладной тематикой, и, в свою очередь, аспиранты и молодые преподаватели технических кафедр стали в своих работах широко использовать новые численные методы, в том числе и разработанные мной.

К этому же времени относится мое знакомство с Алексеем Николаевичем Крыловым, фигурой очень колоритной. Кораблестроитель и математик, правда, более классического толка, он неоднократно представлял по предложению В. И. Смирнова мои работы в Доклады АН. До выборов 1929 г. он был единственным математиком в Академии наук — А. М. Ляпунов,А. А. Марков и В. А. Стеклов умерли незадолго до этого, Я. В. Успенский был в эмиграции.

Его книгу «Теория балок, лежащих на упругом основании» [24] я переизложил по-новому, в интегралах Стилтьеса обычных несобственных и интегралах Стилтьеса высшего порядка [25, 26]. С этим связано несколько работ об интеграле Стилтьеса, которые интересны тем, что относились уже к теории обобщенных функций или теории распределений, правда, конечного порядка [27]. Интерес к этим вопросам стимулировал Николай Максимович Гюнтер. Он читал большой курс, который потом вышел пятисотстраничным мемуаром об интеграле Стилтьеса [28], а его основными слушателями были С. Л. Соболев и я. И в дальнейшем теория обобщенных функций привлекала мое внимание.

Одновременно с расширением вузовской сети были открыты и многие научно-исследовательские и прикладные институты, куда также привлекались математики. При этом наибольшая заинтересованность была не в теоретическом знании, не в математическом исследовании классических проблем, а в создании и разработке методов, позволяющих эффективно производить расчеты, необходимые при проектировании крупных объектов — мощных турбин, самолетов, сложных строительных сооружений. Поэтому проблемы приближенных методов анализа стали привлекать все большее внимание.

Следует сказать, что в то время как приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, квадратур были хорошо разработаны еще со времен Гаусса и Эйлера, по приближенным методам высшего анализа — уравнениям в частных производных, интегральным и функциональным уравнениям — имелись лишь единичные работы (Рунге, Нистрем, Ритц).

В связи с этим Владимиром Ивановичем Смирновым в 1931 году был открыт специальный семинар по приближенным методам высшего анализа.Кроме меня и В. И. Крылова в нем приняли участие Г. М. Голузин и П. В. Мелентьев.

В это же время В. И. Крылов и я работали над курсом вариационного исчисления, составленным под руководством В. И. Смирнова по его лекциям, читавшимся студентам-физикам, лекциям Н. Г. Чеботарёва и литературным источникам. Этот курс [29] был выпущен издательством КУБУЧ в 1933 году, некоторое время служил основным учебником, и математики старшего поколения вспоминают, что именно по нему они изучали вариационное исчисление.

Семинар В. И. Смирнова начался с ознакомления с немногочисленными работами по приближенным методам — работами о методе Ритца, по разностным уравнениям, работами Нистрема по интегральным уравнениям. Вскоре, однако, началась самостоятельная работа участников семинара.

В 1932 году мною был предложен новый вариационный метод [30], являющийся существенным обобщением и видоизменением метода Ритца. В книге Л. Э. Эльсгольца «Вариационное исчисление» [31] этому методу посвящен отдельный параграф под названием «Метод Канторовича». В методе Ритца решение разыскивается в виде линейной комбинации некоторых априорно заданных функций с неопределенными коэффициентами, которые находятся из условия минимизации некоторого интеграла, таким образом, решение уравнения в частных производных или задачи об экстремуме двойного интеграла сводится к матричной задаче. В предложенном мною методе форма разыскиваемого решения включает и произвольные функции одного переменного, благодаря этому часть структуры приближенного решения берется в заданном виде, а часть определяется из самой задачи — минимизации интеграла, превращающегося в одномерную задачу. Этот метод численного решения и качественного исследования задачи оказался особенно эффективным для узких областей и во многих случаях позволял находить не только хорошее численное решение, но и приближенное аналитическое решение исходной двумерной задачи.

Эта идея была применена и при создании метода, аналогичного методу Галёркина - Бубнова, который основан не на вариационных принципах, а на решении моментных уравнений [32]. Та же идея была позднее использована А. А. Дородницыным [33], а также в работах его учеников О. М. Белоцерковского [34, 35], П. И. Чушкина [36] и др.

Предложенные методы сразу стали использоваться в Строительном институте, где я преподавал, применялись они и за рубежом [37]. Распространению нашего вариационного метода существенно способствовал мой доклад, поставленный по инициативе Анатолия Исаковича Лурье на заседании Механического общества, кажется, в 1935 г. Интересные приложения и видоизменения метода предложил сам А. И. Лурье [38], он использовался также в работах большого числа его учеников, в частности, в работах Н. X. Арутюняна [39, 40], ставшего впоследствии Председателем Президиума Верховного Совета Армении.

Другая моя работа была посвящена вопросам приближенного конформного отображения круга на область, близкую к нему, или вообще области на близкую к ней [41, 42]. Идея метода состояла в том, что отображающая функция разыскивается в форме ряда по степеням малого параметра. При этом члены ряда находились либо из бесконечной системы линейных уравнений, либо последовательными приближениями. Потребность в таком методе определялась распространившимися к тому времени применениями методов теории функций комплексной переменной в расчетах по гидродинамике (М. А. Лаврентьев, В. В. Голубев). В частности, они широко применялись в ЦАГИ, так что предложенный метод нахождения отображающих функций имел большое прикладное значение. Например, М. А. Лаврентьев очень ценил эту работу 16.

Было проведено строгое доказательство сходимости этого метода в определенных границах изменения параметра. Этот результат, а также его доказательство, были использованы в известном цикле работ Г. М. Голузина по теории однолистных функций (между прочим, только в первой работе была соответствующая ссылка, а дальше он ссылался только на свои работы [43]).

Работа о приближенном конформном отображении, еще до публикации ее в Математическом сборнике, была включена В. И. Смирновым в вышедший в 1933 г. третий том его классического руководства «Курс высшей математики» в виде отдельного параграфа — «Способ сопряженных тригонометрических рядов». Мной была сделана попытка распространить этот метод на многосвязные области, но соответствующая работа была написана довольно неряшливо и нуждалась в коренной переработке. Она была опубликована [44], но в своей работе 1937 года я указываю, что ей нельзя верить [45]. Методом приближенного конформного отображения я занимался и в дальнейшем, ему посвящен ряд статей моих аспирантов.

Во время визита Жака Адамара в Ленинград, кажется в 1933 г., на встрече с ним в кабинете ректора университета В. И. Смирнов сделал краткий доклад о нескольких достижениях ленинградских математиков, в том числе рассказал и о работе о приближенном конформном отображении. Работа заинтересовала Адамара, и он шутя высказал опасение, как бы Канторовича не постигла судьба Галуа. В ответ кто-то сказал, что у меня не такой агрессивный характер.

Перехожу к нашей совместной с В. И. Крыловым книге «Приближенные методы решения уравнений в частных производных» [46]. Хочется отметить любопытный случай, когда плановые предначертания сыграли положительную роль. В проспекте, выпущенном «Издательством общетехнической литературы и номографии», помимо перечня конкретных предполагавшихся к изданию книг, указывался ряд тем, по которым издательство готово выпустить книги, но не имело их в портфеле, в том числе и по приближенному решению уравнений в частных производных. Это заметно облегчило формальности, связанные с заключением договора и прохождением рукописи, но, кроме того, имело для нас и определенное психологическое значение . Нужно сказать, что к тому времени ни одной подобной книги общего характера в мировой научной литературе не имелось. В этой работе, даже структура которой нам в первый момент не была ясна, была изложена журнальная литература по этим вопросам и собственные уже продвинутые разработки.

В процессе работы над книгой были проведены и новые исследования (погрешности, сходимости), возник ряд новых методов, так что многие результаты впервые были опубликованы только в самой книге. Так, в первой главе, посвященной методу Фурье, был развит метод решения, основывающийся на сведении граничной задачи к бесконечной системе линейных уравнений и была изложена, в основном оригинальная, теория бесконечных систем. Здесь же были изложены непосредственно к этому примыкавшие методы улучшения сходимости рядов, полученных при приближенном решении граничных задач — вопрос, к которому я многократно возвращался и позднее [47].

Вторая глава, посвященная приближенному решению интегральных уравнений Фредгольма, содержала практически впервые данные оценки погрешности, возникающей в результате замены интегрального уравнения системой линейных уравнений. Были предложены методы последовательного приближения и аналитического продолжения, применения интегрального уравнения к решению задачи Дирихле, а также изложен метод английского математика Бэтмена. Пожалуй, это было первое систематическое изложение приближенных методов решения интегральных уравнений.

Глава о методе сеток основывалась на имевшейся литературе и, пожалуй, была недостаточно развернута.

В главе о вариационных методах были изложены необходимая теория уравнений эллиптического типа и связанных с ними вариационных задач, классический метод Ритца. Специальный параграф был посвящен новому методу приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, о котором уже шла речь.

Большой раздел книги относился к методам приближенного конформного отображения. Здесь, наряду с методом Бибербаха и аналогичным ему методом ортогональных полиномов, значительное внимание в изложении уделено методу разложения в ряд по степеням малого параметра, о котором уже говорилось, а также аналогичному методу, разработанному В. И. Крыловым для случая отображения области на круг. Излагался также интересный метод П. В. Мелентьева, математика и изобретателя, сочетавший графические и аналитические приемы. Отдельный параграф посвящен задаче отображения полуплоскости на область, ограниченную многоугольником. Классическая формула Кристоффеля - Шварца теоретически дает точное решение этой задачи, однако, фактическое нахождение параметра представляет немалые трудности. Здесь полезной оказалась идея применения метода Ньютона, разработанная в диссертации Н. П. Стенина [50]. В последней главе даются приложения методов приближенного конформного преобразования к решению основных задач (Коши, Неймана, Дирихле и др.) для канонических областей.

В книге был дан и ряд других небезынтересных методов. Предложен метод коллокации (совпадения) для уравнений в частных производных, когда исходное уравнение заменяется на систему уравнений, относящихся к отдельным линиям, то есть требуется, чтобы приближенное решение удовлетворяло уравнению лишь на нескольких линиях [49]. Собственно, такой же характер носит метод Нистрёма для интегральных уравнений. Для обыкновенных дифференциальных уравнений он был предложен в работе Дункана [50], вышедшей в 1937 г. Наша работа была написана в 1934 г., так что вопрос о приоритете остается неясным. Мне кажется, этот метод представляет интерес.

Другой метод основан на том, что приближенное решение уравнения в частных производных с граничной задачей эллиптического типа разыскивалось как функция, имеющая различные аналитические задания в разных частях области с требованием сохранения непрерывности и гладкости. Этот метод напоминает много позже появившийся метод сплайн-функций. Взаимосвязями этих методов занимался недавно харьковский математик, украинский академик В. Л. Рвачев.

Заканчивая обзор работ по численным методам, замечу, что у меня было и несколько элементарных работ, относящихся к классическому приближенному анализу. Так, в 1934 г. я опубликовал короткую заметку о вычислении определенных интегралов и некоторых методах выделения особенностей [17], где предлагалось выделить из функции особенную, нерегулярную часть, а к оставшейся части, сравнительно регулярной, применить одну из квадратурных формул. В таком виде эта заметка выглядит действительно элементарной, так что один из моих друзей-математиков, С. В. Валландер, даже удивлялся: «Что же вы, Леонид Витальевич, такой элементарный материал о вычислении нескольких интегралов помещаете в Математическом сборнике? ».

Однако применение этого же приема к интегральному уравнению отнюдь не очевидно, и тот факт, что негладкое уравнение заменяется гладким, имеет большое значение. Например, в расчетах, связанных с прикладными работами, за которые мне была присуждена Правительственная премия в 1949 г., использование этого приема при решении уравнений «перехода» дало не только большой выигрыш в размерности решаемой системы. Параллельно расчеты велись еще в одном авторитетном бюро по сорока квадратурным точкам, у нас же применялось всего два-три узла, а результат получился точнее, причем и качественно иной, что имело принципиальное значение. В этой области физики «элементарный» прием применялся в течение многих лет после нашей работы 21. К таким же элементарным работам относится заметка о методе вычисления интегралов для четных и нечетных функций, который позволяет вдвое сократить число узлов [51].

В начале 1935 г., уже после фактического написания книги по приближенным методам, я получил интересное и почетное приглашение от директора НИПММ МГУ А. Н. Колмогорова. Предлагалась рассчитанная на месяц научная программа и контакты с московскими математиками. Программа, в частности, предполагала чтение небольшого специального курса. В качестве темы я избрал приближенные методы решения уравнений в частных производных. Нужно сказать, что если в Ленинграде прикладная математика традиционно пользовалась вниманием и уважением, то в Москве в то время отношение к ней было иным (впрочем, в Киеве тогда интересные исследования вели Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов). Характерный разговор произошел у меня с Л. С. Понтрягиным, с которым я был в ту пору в хороших отношениях. Направляясь на мою лекцию, перед которой он должен был представить меня аудитории, Понтрягин спросил: «Почему ты, Леонид, занялся вычислениями, у тебя ведь были такие интересные теоретические работы?» И добавил, что в Москве за вычисления брались только самые слабые из студентов-математиков его курса 23. Я ответил: «У вас так, а у нас — иначе». Впрочем, представив меня, он остался до конца лекции о бесконечных системах линейных уравнений и очень внимательно прослушал ее, что произвело на меня приятное впечатление.

Может быть, мои лекции в какой-то мере способствовали появлению интереса к этим проблемам у московских математиков, которые, видимо, недооценивали теоретическую трудность исследования приближенных методов. И действительно, в то время большинство работ состояло из описания предлагаемого алгоритма и экспериментального опыта его применения. Между тем, например, сходимость метода Галёркина для случая одномерного дифференциального уравнения, установленная после предварительной работы академика Г. И. Петрова [52] Мстиславом Всеволодовичем Келдышем в работе 1942 г. [53], считается одним из его ярких достижений. И сейчас остается ряд непростых нерешенных проблем, например, в задаче о конформном отображении — вопрос об области значения параметра, в которой имеет место сходимость приближенного решения.

Во время моего пребывания в Болшево в доме отдыха Комиссии содействия ученым я имел много личных контактов с математиками, а А. О. Гельфонд познакомил меня и со многими физиками — И. Е. Таммом, Л. И. Мандельштамом, только что прибывшим в СССР П. Л. Капицей. Побывал я и у Лаврентьевых. В Болшево со мной произошел один неприятный инцидент. Спустившись на лыжах с горы к Клязьме, я провалился в прорубь и наполовину погрузился в воду. Мне помогли выбраться и дойти до дома отдыха, где меня сразу же уложили в постель, и, к зависти остальных, напоили портвейном. Я не хотел беспокоить свою мать и не рассказывал ей об этом эпизоде. Однако оказалось, что из нескольких писем москвичей в Ленинград она очень подробно узнала об этом 24.

С удовольствием вспоминаю и другую, более раннюю поездку в Москву. Если не ошибаюсь, в 1933 или в начале 1934 г. в Москве проводилась конференция молодых ученых, на которую из математиков поехали С. Л. Соболев и я, а также физиолог Э. А. Асратян, экономист А. Г. Милейковский, геолог К. К. Марков. Сергей Львович рассказал о серии своих работ по применению функциональных уравнений к задачам сейсмологии. Я прочел небольшой доклад, посвященный обобщению формулы Парсеваля на непрерывный случай — соответствующая заметка печаталась в это время в журнале Compositio Mathematica [54]. Если семейство ядер, зависящее от параметра, является полным семейством, то есть нет ортогональных к нему, то справедлива формула, внешне аналогичная формуле Парсеваля — сумма квадратов некоторых интегральных средних совпадает с интегралом квадрата функции. Этот факт интересен не только как обобщение известной формулы, но и по способу доказательства, в котором существенную роль играли вероятностные соображения. На конференции я впервые встретился с Израилем Моисеевичем Гельфандом, который стал аспирантом А. Н. Колмогорова, не закончив университета. Хотя в то время у Гельфанда было опубликовано, кажется, только две небольших заметки в газете, изданной по случаю данной конференции, в том числе его известная лемма о слабой сходимости, беседы с ним были для меня чрезвычайно интересны. В то время в Москве больше знали функциональный анализ, там работал А. И. Плеснер25, систематически читались лекции, — в Ленинграде мы только начали его изучение. Наши беседы с И. М. Гельфандом касались не только этого предмета, но и многих других. Меня поразило его совершенно иное понимание, как бы с другой стороны, некоторых вопросов, которые я хорошо знал и которыми даже занимался, например, аппроксимация функций. Впечатление было такое, что я вместе с теми руководствами, которые изучал, смотрел на предмет снаружи, а Гельфанд рассказывал, что там внутри. Мои связи с ним, иногда более интенсивные, иногда менее, продолжаются до настоящего времени.

[<<] [<] [^] [>] [>>]