Я уже говорил о своем исследовании функциональных уравнений в полу­упорядоченных пространствах, где мне впервые удалось связать свои ра­боты по функциональному анализу с работами в области вычислительной математики [72, 73]. Однако в полной мере я смог это осуществить уже в послевоенные годы. В большой статье, охватывающей несколько циклов моих исследований, само название которой звучало тогда парадоксально — Функциональный анализ и прикладная математика[102], были указаны широкие возможности разнообразных применений идей функционального анализа для развития вычислительной математики и установлены разнообразные связи между ними. В этой работе содержалась общая теория при­ближенных методов и были изучены следующие группы методов:

1. метод наискорейшего спуска и другие градиентные методы;

2. методы ньютонов­ского типа;

3. принцип мажорант и методы последовательного приближе­ния.

Из этого цикла работ наиболее важной мне представляется работа по общей теории приближенных методов [103]. Имеется весьма большое число различных приближенных методов для разных классов задач и уравнений, и их конструирование и исследование в каждом конкретном случае пред­ставляло немалые трудности. Поэтому возникла мысль о построении общей теории приближенных методов, которая позволяла бы их строить и иссле­довать из некоего единого источника. Эта теория основывалась на идее связи данного пространства, в котором задано исследуемое уравнение, с некоторым более простым, в которое исходное пространство отображается. На основе исследования «приближенного уравнения» в более простом пространстве открывалась возможность строить и изучать конкретные при­ближенные методы в исходном пространстве. Удалось доказать общие тео­ремы, позволявшие на основании сведений о точном решении устанавливать разрешимость приближенного уравнения и сходимость приближенного решения к точному, а также теоремы, позволяющие на основе разрешимости приближенного уравнения устанавливать существование точного решения и определять область его расположения.

Помимо порожденного на этой базе огромного числа эффективных расчетных методов с точной характеристикой быстроты сходимости, она дает и ряд важных средств теоретического анализа. С ее помощью в ряде слу­чаев может строго доказываться существование решения, устанавливаться область единственности и некоторые свойства решения. Приближенное ре­шение может получаться не численно, а в формульном виде на компьютере. Эта новая область математики получила название «доказательные вычис­ления».

Теория получила многочисленные применения во многих вопросах. Назову работы В. С. Владимирова об уравнениях «переноса» [104], А. И. Каландия [105], Э. Б. Карпиловской [106]. В частности, в последней работе на основе общей теории была доказана сходимость метода коллокации для дифференциального уравнения, что не удавалось сделать впрямую.

Мне кажется, что основная идея этой теории носит общий характер и отражает общий гносеологический принцип исследования сложных систем. Он, разумеется, применялся и раньше, применяется и в системном анали­зе, но не имеет строгого математического аппарата. Попросту этот прин­цип состоит в том, что

Изучение этой упрощенной модели оказывается, естественно, более доступным и осуществимым. Этот метод предъявляет, конечно, определенные требования к качеству аппроксимирующей системы.

Имеются различные средства построения таких упрощенных систем. Скажем, в экономике — изучение малоразмерных задач, глобальных моделей. Одним из общих приемов построения таких упрощенных систем яв­ляется метод агрегирования. Чрезвычайно актуальным для экономики является исследование вопроса о близости решения, принимаемого на основе агрегированной модели и расположенного в аппроксимирующем простран­стве, полученном посредством агрегирования переменных, к искомому ре­шению, расположенному в исходном пространстве. Другим общим приемом является отображение, основанное на использовании в качестве нормы в исходном пространстве элементов некоторого полуупорядоченного про­странства. Скажем, функция нормируется не своим максимумом на всем интервале, а некоторым набором чисел — максимальными значениями на подынтервалах. Очевидно, что такая норма гораздо точнее характеризует функцию.

Так или иначе большие системы упрощаются до систем меньшей размерности, но все же достаточно близких к ним. В теории приближенных методов общие принципы и конкретные теоремы позволяют на основе иссле­дования малых, более простых систем делать заключения о первоначальной большой системе — существование решения, его единственность, асимпто­тические свойства, наконец, получать численные оценки. Мне представля­ется, что должным образом обобщенная теория типа теории приближенных методов должна найти широкие применения в системном анализе и в эко­номических исследованиях.

Опираясь на результаты и теоремы общей теории, удалось исследовать и трактовать многие приближенные методы решения сложных уравнений. В частности, на основе изучения функциональных уравнений в банаховых пространствах были получены условия сходимости метода наискорейшего спуска [107], причем, любопытно, в такой обобщенной трактовке оценки сходимости оказались предельно точными. Метод наискорейшего спуска получил и интересные теоретические приложения. Так, в работе моего аспиранта из Венгрии Ласло Цаха [108] были доказаны прежде трудно устанавлива­емые теоремы Жиро об уравнениях в частных производных, при этом он опирался как на исследования по методу наискорейшего спуска, так и на некоторые результаты конструктивной теории функций.

Ряд глубоких результатов был получен при исследовании обобщенного метода Ньютона для функциональных уравнений [109, 110]. Для него были даны точные оценки сходимости, области расположения решения и уста­новлены другие аналитические факты. Принципиально важным было то, что эта теория была приложима не только к численному решению задач, но и к качественному их анализу. Эта работа нашла широкие применения, в частности, в фундаментальном исследовании А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда о движении небесной системы69, работах В. П. Маслова и других, а также во многих прикладных работах. Исследования по методу Ньютона вошли во многие учебники.

Еще более простое обоснование и несколько более точные оценки были получены на основе теорем о мажорации, связанных с нормировкой исход­ного пространства элементами полуупорядоченных пространств [111, 112].