Работа Канторовича 1939 г. ограничивается рассмотрением задач планиро­вания на низовом уровне главным образом в пределах отдельного предприятия. Первую и наиболее простую из рассмотренных задач производственного планиро­вания можно схематически описать следующим образом. На предприятии имеется определенное число станков, которые можно использовать для производства опре­деленных изделий, каждое из которых состоит из определенного числа деталей. Технические коэффициенты показывают, какое количество штук каждой детали станок может произвести в день. (Конечно, некоторые из этих коэффициентов мо­гут иметь нулевое значение, показывая, что данный станок нельзя использовать для производства рассматриваемой детали.) Задача состоит в таком распределе­нии производства различных деталей по имеющимся станкам, при котором будет получен максимальный выпуск целых изделий. Эта проблема сформулирована на математическом языке. Она принимает форму максимизации линейной функции, которая выражает общее число целых изделий как функцию переменных, обознача­ющих то время, в течение которого каждый станок используется для производства деталей каждого вида. Максимизация производится при определенных условиях в виде уравнений, которые показывают, что общее время использования станка для производства различных деталей должно быть равно общему наличному фонду времени, и в виде неравенств, показывающих, что время использования станка для производства определенной детали не может быть отрицательным.

В дальнейших разработках Канторович вводит дополнительные ограничения, так что в формулировке проблемы достигается б'ольшая общность. Например, он вводит условие, при котором все станки в совокупности не должны использовать большее количество электроэнергии, чем заданное ограниченное ее количество. Это условие становится линейным ограничением более общего вида, чем те, что упоми­нались в первой и более простой задаче. В самой общей формулировке Канторович учитывает возможность выполнения станком нескольких операций с целью одновременного производства различных деталей.

Канторович дает ряд примеров конкретных задач, которые можно математи­чески сформулировать вышеописанным способом. Задачи частично заимствова­ны из практики. Он также дает решение этих проблем. Кроме описанного выше непосредственного планирования производства, рассматриваются, например, зада­чи определения наилучших способов использования различных типов материалов с тем, чтобы избежать отходов; наилучшего из возможных способов использова­ния энергии, когда определенные наличные количества различных видов энергии распределяются по различным видам деятельности; планирования строительства с учетом транспортировки строительных материалов; использование участков земли для выращивания различных сельскохозяйственных культур; задачи, связанные с планированием перевозок и размещением экономической деятельности. Хотя автор по своей подготовке — математик, описание и обсуждение задач свидетельствуют о близком знакомстве с конкретными обстоятельствами и о тонком понимании эко­номических аспектов задач.

При рассмотрении формулировок данных задач Канторовича, на первый взгляд, они кажутся частными случаями того, что теперь называется общей за­дачей линейного программирования. Вопрос относительно общности формулиро­вок Канторовича немного обсуждался. В предисловии [3] к публикации работы Канторовича в «Management Science» Т. Купманс приводит объяснение, за кото­рое выражает благодарность Г. Скарфу. Скарф, в свою очередь, основывает свою трактовку на предложении, выдвинутом самим Канторовичем. Там показано, что задача, которая в настоящее время рассматривается как общая задача линейного программирования, может быть преобразована в наиболее общую из формулиро­вок Канторовича. (Обратное, т. е. то, что задачи Канторовича можно выразить в том же виде, что и стандартную задачу линейного программирования, следует непосредственно.) В соответствии с этим Купманс утверждает, что наиболее общая задача Канторовича, «хотя и кажется имеющей некоторую специальную структуру, в действительности эквивалентна общей задаче линейного программирования».

Касаясь областей приложений, которые Канторович приводит в качестве при­мера, Купманс пишет, что «широкая область приложений, охваченная автором, делает его работу ранней классикой в науке управления при любой экономической системе».

Утверждение Купманса относительно общности формулировки Канторовича было поставлено под вопрос в работе А. Чарнса и В. Купера [4]1). Они указали на некоторую неполноту доказательства Купмансом эквивалентности общей зада­чи линейного программирования и наиболее общей формулировки Канторовича. Купманс ответил на эту критику в заметке [5]. Итоговый вывод состоит в том, что эквивалентность справедлива для класса задач линейного программирования, имеющих оптимальное решение, каковой класс, безусловно, наиболее интересен для практических приложений. Для задач, не имеющих оптимального решения, возни­кают определенные трудности.

Для задач, рассмотренных Канторовичем, его способ их формулирования очень часто был весьма удобным. Однако в целом, вероятно, следует сказать, что фор­мулировки, данные в позднейшей литературе, более эффективны и удобны, чем формулировка Канторовича. С этими оговорками можно с уверенностью заклю­чить, что Канторович — первый ученый, точно сформулировавший задачу линейно­го программирования и представивший обширную и разнообразную совокупность примеров практических задач, которые можно рассматривать и решать с помощью данного подхода.

Можно добавить, что Д. Данциг в классической работе «Линейное программи­рование, его применения и обобщения» следующим образом характеризовал вклад Канторовича [6, с. 22]: