В позднейших работах Канторович дальше развил свои идеи исследования 1939 г. Особенно я имею в виду его статью [е] и очень важную и оказавшую боль­шое влияние книгу «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» [f], опубликованную в СССР в 1959 г.

Что касается этих работ, то вопросы приоритета здесь несколько сложнее, чем в случае работы 1939 г., частично потому, что, очевидно, прошло значительное вре­мя между развитием этих идей и официальной публикацией в СССР, а частично и потому, что за это время линейное программирование уже значительно развилось как в США, так и в Западной Европе. Однако, по-видимому, ясно, что основные идеи вышеупомянутых работ вполне были развиты уже в начале 1940-х годов как продолжение работы, начатой в статье 1939 г. Канторович во многих местах упо­минает, что он работал над этими проблемами в начале 1940-х годов. Р. В. Джуди [8, с. 220] безоговорочно утверждает, что эти работы были написаны в 1941 или 1942 г., но, вероятно, это слишком упрощенное понимание. Что, по-видимому, яс­но, так это то, что автор сообщал о части содержания и выводах из этих работ в Ленинградском политехническом институте в 1940 г., в Математическом институте АН СССР в 1942 г. (тогда находившемся в Казани) и в Институте экономики АН СССР в 1943 г. В указанных работах идеи статьи 1939 г. развивались в нескольких направлениях.

В первую очередь, теперь в этих работах даются формулировки, которые есте­ственным образом охватывают общую задачу линейного программирования без вся­ких преобразований, которые были необходимы для формулировки из статьи 1939 г. Фактически Канторович теперь дает формулировку, которая может показаться да­же более общей, чем общепринятая формулировка задачи линейного программиро­вания, и формулировка Канторовича для многих целей (особенно для тех, которые он сам использует в качестве иллюстраций) является весьма полезной и удобной. С помощью соответствующих перестановок и преобразований стандартную задачу линейного программирования все же можно переформулировать таким образом, чтобы она охватывала и формулировку Канторовича. Различие, следовательно, касается формулировки, а не области реальных задач, которые могут быть ими охвачены.

Примером применения теории линейного программирования, в котором оказа­лось удобным исходить из формулировки Канторовича, служит работа Д. Мицельского, К. Рея и В. Тржесьяковского, которые построили модель оптимизации пла­новой экономики с особым учетом экспорта и импорта [9]. Ими показано, как можно на основе сформулированной по Канторовичу задачи и с помощью его способа обо­значений условий оптимума естественным путем прийти к методу декомпозиции, т. е. к методу, в котором общая задача оптимизации разлагается на несколько меньших задач, связанных определенным образом между собой, и в котором оптималь­ное решение общей задачи получается с помощью итеративной процедуры, состоя­щей в повторном решении меньших задач. Это очень важно для обеспечения воз­можности частично децентрализованного согласования оптимальных планов для хозяйства в целом или для его крупных секторов. Данный «Восточный» подход к декомпозиции, по-видимому, начал разрабатываться независимо и параллельно ныне хорошо известному принципу декомпозиции Д. Данцига и П. Вулфа [10], ко­торый был первым значительным вкладом в теорию разложения крупных задач линейного программирования в западной литературе. В упомянутой выше работе декомпозиция появляется как естественное следствие и распространение подхода Канторовича. Мне неизвестно, насколько сам Канторович формализовал подобные методы декомпозиции, но представляется очевидным, что он должен был работать с такими методами, проводя расчеты в вычислительном центре в Новосибирске. Подобный способ составления децентрализованного плана полностью соответству­ет общим идеям, высказанным Канторовичем, например, в конце статьи [е] и в нескольких местах книги [f]. Декомпозиция оказалась очень важной идеей и име­ет большое значение для применения вычислительных методов к решению задач эффективного распределения ресурсов в больших системах.

Чрезвычайно важное направление распространения исследований Канторови­ча, которое появилось как в работе [е], так и [f], а потом было разработано и выделе­но особо в работах [g] и [i], — это разработка динамических моделей. С формально­математической точки зрения — это «всего лишь» вопрос наличия большего числа датированных переменных и определенных специальных структур в матрице ко­эффициентов, описывающей задачу. Поэтому с математической точки зрения не потребовалось большой новой теории. Однако с точки зрения интерпретации и применения динамическое расширение очень важно. Особое значение имеет появ­ление в этом случае датированных теневых цен (разрешающих множителей, двой­ственных переменных) для различных ресурсов и товаров. За исключением весьма специальных случаев этим ценам свойственно развитие во времени, т. е. один вид ресурса или товара получает различные теневые цены в различные периоды вре­мени. В этом случае система динамических рядов цен содержит всю информацию, заключенную в теневых ценах, о задаче перспективного планирования, но для при­менений и теоретической интерпретации представляет особый интерес разделение двух аспектов подобной динамической системы цен. Первый аспект относится к изменению относительных цен различных товаров, второй — к изменению уровня цен с течением времени. Конечно, это не имеет никакого отношения к инфляции или дефляции — рассматриваемые теневые цены выражают предельные значения ограниченных ресурсов в различные периоды времени, т. е. уровень этих цен в раз­ные периоды выражает ценность, измеренную потенциальным влиянием на целевую функцию наличия ресурсов в ближайшем или более далеком будущем. Канторо­вич провел такое отделение (см., например, [f, С. 284-287]), записав каждую цену как произведение нормализованной цены фактора и множителя, зависящего только от времени. Эти нормализованные цены привязаны к определенному постоянному уровню в предположении, что определенный, основанный на этих ценах индекс должен оставаться неизменным во времени. В этом случае изменения фактиче­ских теневых цен окажутся комбинацией изменения относительных цен и изменения уровня цен. Введение фактора времени, представленного в качестве индекса цен, делает его интерпретацию, близкой к процентной ставке, и Канторович использует его для выражения того, что он обозначает как «нормальную эффективность капи­таловложений при переходе от периода t к следующему периоду времени». Такая интерпретация полностью аналогична точкам зрения и концепциям, используемым в других современных теориях процента и оптимальных инвестиционных решений