| Текст: | Отзыв о цикле работ Л. В. Канторовича «Приложения функционального анализа в прикладном анализе» Ленинградская математическая школа справедливо гордится своими традициями в области прикладного анализа и численных методов, восходящими к П. Л. Чебышёву (и даже к дочебышёвскому периоду) и продолженными А. А. Марковым, В. А. Стекловым и А. Н. Крыловым. С середины тридцатых годов работа в этом направлении в Ленинграде возглавляется Л. В. Канторовичем. Его активная и плодотворная деятельность охватывает разные вопросы прикладного анализа и вычислительной математики. Ему принадлежат новые методы решения граничных задач уравнений в частных производных; разработка методов численного решения интегральных уравнений, конечных и бесконечных алгебраических систем, приближенного конформного отображения, методов улучшения сходимости процессов приближения, ряд оценок точности приближенных методов. Написанные им в сотрудничестве со своим учеником В. И. Крыловым две монографии по численным методам высшего анализа состоят в значительной части из оригинальных работ JI. В. Канторовича. В последние годы JI. В. работает также над механизацией математических вычислений, руководя научной работой на Ленинградской счетной станции АН СССР. Наконец, Л. В. принимал непосредственное участие в решении ряда практических задач. Эти столь широкие по диапазону работы составили одно из основных направлений научной деятельности Л. В. Другое охватывало общие вопросы функционального анализа — общей теории линейных пространств и операций в них. Отметим новейшие исследования Л. В. по полуупорядоченным пространствам. Оба этих направления работы Л. В. и его учеников были связаны лишь «личной унией», различаясь не только тематикой, но и методами — работы Л. В. по прикладной математике были выдержаны в духе классического анализа. Впервые точка соприкосновения была найдена в связи с созданием Л. В. теории полуупорядоченных пространств: их концепция позволила Л. В. объяснить разные схемы метода последовательных приближений и обобщить метод мажорант, используя абстрактную норму — более тонкий инструмент, чем обычная числовая норма. В рассматриваемом цикле работ оба направления научной деятельности автора достигли органического слияния. Методы функционального анализа становятся уже не эпизодическими, а основными методами прикладного анализа. Рассматривая не отдельные задачи алгебры и анализа, а сразу некоторую общую задачу в соответственном наиболее естественном для нее абстрактном пространстве, Л. В. Канторович не только объединяет изучавшиеся раньше изолированно задачи, но в ряде случаев добивается существенного упрощения: индивидуальные задачи обладают рядом свойств, несущественных с точки зрения данного метода решения, заслоняющих его идею, и отвлечение от этих свойств делает ход решения более прозрачным и простым. Как частные случаи общих рассмотрений Л. В. Канторович получает как известные, так и новые методы решения задач, а также рассматривает и новые задачи. В основном рассматриваются четыре группы вопросов. Первая из них — общий анализ аппроксимативных методов. Для каждого из них анализ сходимости представлял самостоятельную, иногда трудную задачу. Такой анализ проведен, например, Н. М. Крыловым для метода Ритца, М. В. Келдышем — для метода Галеркина, самим Л. В. Канторовичем — для других вариационных методов. Л. В. Канторович рассматривает общий случай решения функционального уравнения, в правой части которого над неизвестным элементом банаховского пространства Е действует определенный в нем оператор А. Это пространство в определенном смысле аппроксимируется более простым пространством Ḗ, а исходный оператор — оператором Ᾱ в Ḗ. Автор устанавливает меру аппроксимации точного решения приближенным в виде некоторой линейной формы от мер аппроксимаций пространства Е пространством Ḗ и оператора А оператором Ᾱ. Если такая форма меньше по абсолютной величине некоторой константы < ... >, то из существования точного решения следует существование приближенного и обратно. Стремление этих форм к нулю обеспечивает сходимость приближенных решений к точному; при этом получаются и оценки точности решения. Общие результаты применяются к конкретным задачам и методам прикладного анализа: к методу решения бесконечных линейных систем заменой их укороченными системами; к различным методам решения уравнений Фредгольма — методу сеток, тригонометрической аппроксимации, аппроксимации ядра вырожденным ядром, методу Ритца; к решению дифференциальных уравнений методом Галеркина. Для всех методов единообразно на основе общих теорем получается доказательство сходимости и оценка точности. Следующая группа вопросов относится к широко разработанному JI. В. Канторовичем вариационному методу последовательных приближений — «методу наискорейшего спуска». Ищется минимум функционала <...>, определенного в Гильбертовом пространстве. Через точку, принимаемую за приближенную точку минимума, проводится прямая в направлении градиента, и точка минимума функционала на этой прямой принимается за следующее приближение. Конкретными воплощениями метода являются его применения к решению систем алгебраических уравнений, интегральному уравнению Фредгольма, некоторым дифференциальным уравнениям, а также к определению собственных значений. Третий вопрос — общее применение метода последовательных приближений Ньютона. Как известно, в простейшем случае одного уравнения метод заключается в том, что в окрестностях первого приближения функция, стоящая в левой части уравнения, линеаризируется — приращение ее заменяется дифференциалом. Аналогичный метод Л. В. Канторович рассматривает для задач в общих линейных пространствах Банаха, где в левой части над неизвестным элементом производится некоторая операция. Используя дифференцирование операций, автор распространяет метод Ньютона на этот общий случай, исследует область сходимости в окрестности решения и скорость сходимости. Интересно отметить, что уже для случая плоскости (система двух алгебраических уравнений) применение общего результата автора дает более точный результат, чем полученный Островским в специальном исследовании, посвященном этому случаю. При этом сложность метода Островского не позволила последнему распространить свои исследования даже на трехмерный случай. Из общих методов J1. В. Канторовича следует не только применение метода Ньютона к системам любого числа уравнений, но и применение к нелинейным интегральным уравнениям. Последняя группа вопросов касается своеобразных экстремальных задач, поставленных JI. В. Канторовичем в связи с некоторыми производственными задачами — наиболее рационального использования комплекта станков, наиболее выгодного раскроя, распиловки и т. д. JI. В. нашел математическую формулировку подобных задач — они сводятся к отысканию экстремума некоторой функции или функционала, определенного в ограниченной области. При этом обычные методы дифференциального или вариационного исчисления здесь не применимы, поскольку экстремум достигается на границе области. Л. В. дал общий метод решения таких задач путем построения линейного функционала, достигающего экстремума одновременно с рассматриваемым, и указал метод эффективного нахождения точки экстремума. К этим задачам примыкает рассмотренная Л. В. в самом общем виде задача «о наиболее выгодном перемещении масс». Исследование этой задачи в абстрактной форме позволило ее сравнительно просто решить. Частным случаем этой задачи является задача о наиболее выгодной схеме перевозки грузов. Другим частным случаем является задача Монжа, представляющая геометрическую формулировку задачи о наивыгоднейшем способе перемещения масс из насыпи в выемку. Теорема, дающая решение этой геометрической задачи, сформулирована Монжем без доказательства в его мемуаре 1781 года. Лишь в 1884 году Аппель в 200-страничном мемуаре доказал теорему Монжа. Это доказательство остается сложным и после внесенных в него упрощений. Из общей теоремы Л. В. Канторовича теорема Монжа (и в более общей формулировке) доказывается в «два слова». Этот эффектный пример убедительно показывает преимущество во многих случаях разработанных Л. В. Канторовичем общих методов. Рассмотренные работы Л. В. Канторовича, богатые по применениям и свежие по методу, достойным образом завершают его фундаментальный цикл исследований по прикладному анализу. Ценность этих работ заключается не только в целом ряде важных и интересных новых результатов, но прежде всего, в новой точке зрения на прикладной анализ, действенность которой убедительно проиллюстрирована многочисленными примерами. Работы представляют и значительный методологический интерес как яркий образец плодотворного взаимодействия теории и практики в математике. Поэтому я считаю рецензируемые работы достойными быть отмеченными Сталинской премией. Член-корр. АН СССР Л. Люстерник [1948] |