Осенью 1983 года Л. В. Канторович участвовал в чествовании Сергея Львовича Соболева по случаю его семидесятипятилетия. Стояла сырая и холодная погода, и в обед Леонид Витальевич зашёл к нам домой, где вместе с моим отцом они довольно энергично стали согреваться сибирской водочкой. Осмелев, я прямо спросил у Леонида Витальевича, что он считает самым важным достижением своей жизни. Не задумываясь, он ответил: “Самое полезное — линейное программирование”. Поскольку техническая сущность этого научного предмета не представлялась мне всё же достаточно масштабной для математика его силы, я продолжал допытываться: “А для души?” Леонид Витальевич (человек тонкий и хорошо разбиравшийся в собеседниках) улыбнулся и сказал ожидаемое: “А для души, конечно, K-пространства”.

Развитие теории K-пространств в рамках функционального анализа — главная жемчужина абстрактного идейного наследия Л. В. Канторовича — заслуживает специального обсуждения. В определенном смысле K-­пространства открытие столь же гениальное, как и таблица Менделеева. И то и другое было “изобретено” из соображений, в известном смысле, практической целесообразности, и только последующее развитие науки смогло объяснить, почему эти “изобретения” так хорошо работают. С самого начала своих исследований Л. В. Канторович рассматривал элементы K-пространств как обобщённые числа, но только в рамках современной математики выяснился глубинный смысл этой аналогии. Оказалось, что элементы K-пространств — объекты для математики столь же естественные, как и сами вещественные числа: каждое из K-­пространств является новой равноправной моделью вещественной прямой, а следовательно, играет в математике ту же фундаментальную роль. Любопытно отметить, что в 80-­е годы в связи с развитием новых логических моделей K-­пространства были переоткрыты одним из известных американских математиков, и это “открытие” ему настолько понравилось, что он не смог удержаться от его публикации даже после того, как ему указали на его неоригинальность.

Обратимся к истокам ­K-пространств. Первой работой Л. В. Канторовича в области упорядоченных векторных пространств была заметка 1935 года в Докладах Академии наук СССР, в которой он пишет:

Здесь Л. В. Канторович сформулировал важную методологическую установку, которую теперь называют принципом Канторовича или, более подробно, принципом переноса для K-­пространств. Подчеркнём, что в определение линейного полуупорядоченного пространства была включена аксиома условной порядковой полноты, обозначенная I6 . Таким образом, уже в первой работе Л. В. Канторовичем выделен класс K-пространств, носящих теперь его имя. Изучение K-пространств Леонид Витальевич связал с выяснением области применимости фундаментальной теоремы Хана — Банаха и сформулировал теорему 3, которая теперь в литературе именуется теоремой Хана — Банаха — Канторовича. В ней фактически утверждается, что в классической теореме о мажорированном продолжении линейного функционала можно реализовать принцип Канторовича, т. е. заменить в теореме Хана — Банаха вещественные числа элементами произвольного K-пространства, а линейные функционалы — операторами со значениями в таком пространстве.

Характерное для творчества Л. В. Канторовича разнообразие интересов сочетается с идейной целостностью. Неудивительно поэтому, что уже в своих ранних работах Л. В. Канторович обращается к приложениям теории полуупорядоченных пространств в численных методах. Идейную сторону своего подхода Леонид Витальевич описывает в заметке 1936 года словами:

И в самом деле, метод мажорант, восходящий к Коши, обретает свою естественную и законченную форму в рамках теории K-­пространств.

В связи с задачами прикладного характера Л. В. Канторович обращается к идее абстрактно нормированных пространств и вводит специальную аксиому полноты. Таким образом, само введение пространств типа BK, или, как теперь говорят, пространств Банаха — Канторовича, имело как абстрактные корни, так и основательную прикладную мотивацию. Метод мажорант, в общей форме построенный Леонидом Витальевичем, получил существенное развитие как в его собственных исследованиях, так и в работах его учеников и последователей и занял видное место в арсенале теоретических средств вычислительной математики.

Как уже отмечалось выше, эвристический принцип переноса, выдвинутый Л. В. Канторовичем в связи с концепцией K-­пространства, находил позже многочисленные подтверждения в исследованиях как самого автора, так и его последователей. По существу этот принцип оказался одной из тех стержневых идей, которые, играя организующую роль в становлении нового направления, привели в конечном итоге к глубокой и изящной теории K-пространств, богатой разнообразными приложениями. Уже в начальный период развития теории предпринимались попытки формализации указанных эвристических соображений. На этом пути появились так называемые теоремы о сохранении соотношений, которые утверждают, что если некоторое высказывание, включающее конечное число функциональных соотношений, доказано для вещественных чисел, то аналогичный факт автоматически оказывается верным и для элементов K-­пространства.

Однако оставался неясным внутренний механизм, управляющий феноменом сохранения соотношений, границы применимости подобных утверждений, а также общие причины многих аналогий и параллелей с классической теорией функций. Вся глубина и универсальный характер принципа Канторовича были раскрыты в рамках булевозначного анализа.

Булевозначным анализом называют раздел функционального анализа, использующий специальную теоретико-модельную технику — булевозначные модели теории множеств. Любопытно, что создание булевозначных моделей не было связано с теорией упорядоченных векторных пространств. Необходимые для этого языковые и технические средства окончательно сформировались в рамках математической логики уже к 1960 году. Однако всё ещё не было той генеральной идеи, которая впоследствии вдохнула жизнь в созданный математический аппарат, привела к бурному прогрессу в теории моделей. Такая идея пришла с открытием П. Дж. Коэна, установившего в 1963 году абсолютную неразрешимость (в точном математическом смысле) классической проблемы континуума. Именно в связи с осмыслением метода форсинга П. Дж. Коэна возникли булевозначные модели теории множеств, создание которых принято связывать с именами П. Вопенки, Д. Скотта и Р. Соловея.

Булевозначный статут понятия K-пространства установлен в начале 70­х годов Е. И. Гордоном. Основной его результат утверждает, что любое расширенное K-пространство есть интерпретация поля вещественных чисел в подходящей булевозначной модели. Более подробно, пусть B — полная булева алгебра, а R — поле вещественных чисел в булевозначной модели, построенной на основе B. Тогда с R вполне определённым способом связано расширенное K-­пространство , база которого изоморфна исходной булевой алгебре B. При этом оказывается, что любая теорема (в рамках аксиоматики Цермело — Френкеля с аксиомой выбора) о вещественных числах имеет свой аналог для K-пространства , причём перевод одних теорем в другие осуществляется посредством точно определённых стандартных процедур, т. е. по сути дела, алгоритмически. Тем самым установка Л. В. Канторовича “элементы K-­пространства суть обобщённые числа” обретает в булевозначном анализе четкую математическую формулировку. С другой стороны, эвристический принцип переноса, игравший вспомогательную, наводящую роль во многих исследованиях в добулевозначной теории K-пространств, превращается в рамках булевозначного анализа в точный исследовательский метод.

Дальнейшее развитие булевозначного анализа показало, что подобный перевод (перенос, трансляция), изготовляющий из известных фактов новые теоремы, возможен не только для K-пространств, но и практически для всех объектов, так или иначе, с ними связанных: для пространств типа BK, различных классов линейных и нелинейных операторов, операторных алгебр и т. п. Отметим, что принцип Канторовича для пространств типа BK (с точностью до элементарных оговорок) реализован А. Г. Кусраевым в следующем виде: пространство Банаха — Канторовича допускает погружение в подходящую булевозначную модель теории множеств, превращаясь в банахово пространство. Иначе говоря, пространство типа BK — это булевозначная интерпретация банахова пространства. При этом именно необычная, считавшаяся надуманной аксиома разложимости нормы, введённая Л. В. Канторовичем, и обеспечивает возможность такого погружения.

Обращаясь к идейным установкам теории K-пространств в последней математической работе, которая была опубликована посмертно в Сибирском математическом журнале и которую Л. В. Канторович заканчивал непосредственно перед своей кончиной, он отмечал:

Подчеркну, что в приведенном фрагменте Л. В. Канторович отмечает неразрывную связь K-пространств с теорией неравенств и экономической проблематикой. Стоит также указать, что идеи линейного программирования имманентны теории K-пространств в следующем строго математическом смысле: выполнение в абстрактной математической структуре любого из принятых вариантов формулировок принципа двойственности с неизбежностью приводит к тому, что исходный объект является K-пространством.

Удивительно прозорливым оказалось положение Л. В. Канторовича о том, что элементы K-пространства суть обобщённые числа. Эвристический принцип Канторовича нашел блестящее подтверждение в рамках современной математической логики. K-пространства, утвердившиеся в качестве новой равноправной модели вещественной прямой, навсегда вошли в сокровищницу мировой науки.

Уходят в прошлое годы общения с Л. В. Канторовичем, время его максимального вклада в науку. Но всё отчётливее становятся масштабы его личности и унифицирующих идей, устремлённых в будущее.