Известно, что в период примерно с 1915 по 1925 гг., исследования по аналитическим множествам (A-множествам или александровским множествам), открытым и изученным П. С. Александровым, М. Я. Суслиным и Н.Н. Лузиным, занимали центральное место в работах многих московских математиков (А.Н. Колмогоров, П.С. Новиков и др.). В Ленинграде эти работы были почти неизвестны вплоть до 1927 г., когда состоялся Всероссийский математический съезд. На участвовавшего в нем проф. Г. М. Фихтенгольца эти работы произвели большое впечатление, и в 1928-1929 гг. он открыл семинар по изучению A-множеств и смежных вопросов. В его работе участвовали Д. К. Фаддеев, С. Л. Соболев, С. Г. Михлин, В. Н. Фаддеева, И. П. Натансон и ряд других математиков. Семинар посещали также я и Е. М. Ливенсон, который поступил в университет на три года раньше меня, но по не зависящим от него обстоятельствам прерывал обучение и формально считался на моем курсе, кончал университет он вместе со мной.

На семинаре изучались журнальные статьи, в том числе несколько мемуаров Н. Н. Лузина, соответствующие разделы книги Хаусдорфа (2-е немецкое издание 1927 г.), где впервые было дано оригинальное монографическое изложение этой теории (книга Н. Н. Лузина [9] об этих проблемах вышла позднее, в 1930 г.).

В Москве эта область уже начала выходить из моды. Аналитические множества были к тому времени изучены достаточно досконально, однако по проективным множествам результатов почти не было, хотя они тоже имеют естественное происхождение. В частности, интересной была проблема, впоследствии фигурировавшая в книге Н. Н. Лузина, о взаимоотношении двух путей расширения понятия аналитических множеств. Один путь — геометрический — скажем, множество из второго класса проективных множеств получается как проекция множества, дополнительного к аналитическому. Другой путь — поочередным применением александровской A- операции — применить ее к аналитическим множествам, затем к борелевым, затем к дополнениям аналитических множеств (CA-множествам), затем к их дополнению и т. д.

В процессе работы семинара было, собственно, два продвижения. Во - первых, для δs-операций Хаусдорфа был поставлен вопрос об изучении множества индексов, то есть систем последовательностей, по которым производится суммирование множеств. Оказалось удобным их изучать с помощью изображения на вещественной прямой, тогда их можно было рассматривать уже не как множества последовательностей, а как подмножества множества рациональных чисел. Были получены некоторые теоремы о том, как меняются множества индексов при объединении соответствующих множеств, при составлении сложной операции и т. д. Эта работа была проделана еще в первый год занятий семинара Е. М. Ливенсоном и мной. Между прочим, идея интерпретации индексных множеств как подмножеств множества иррациональных чисел, была предложена Д. К. Фаддеевым, хотя он этими вопросами специально не занимался.

Во-вторых, ставился вопрос о представлении проективных множеств. Для A-множеств было известно красивое представление через А-операцию с кортежами, для проективных ничего подобного не существовало. Мне удалось получить представление для проективных множеств второго класса, оно допускало и распространение. Эта работа была представлена через академика Н. Н. Лузина в Comptes Rendus и опубликована в 1929 г. [8].

Пожалуй, в следующем учебном году семинар уже не продолжался, но мы с Е. М. Ливенсоном осенью провели интенсивную работу. В частности, существенное значение имела простая идея схемы: класс множеств, получаемых в результате δs-операции над данными множествами (если базу δs-операции изобразить множеством вещественных чисел), имеет простую двумерную геометрическую картину, из которой можно легко извлечь различные следствия.

Мы сами себе не поверили, что из этой группы теорем непосредственно вытекает решение одной проблемы Н. Н. Лузина:

Обе эти проблемы фигурировали в книге Н. Н. Лузина, вышедшей в 1930 г. в Париже в серии Бореля [9], и в ней имеется примечание, что, как Николай Николаевич узнал из письма Г. М. Фихтенгольца, они решены в наших работах [6]. Работы были кратко анонсированы в Докладах французской академии [10, 11], а затем мы взялись за написание большого мемуара. Первые две части были опубликованы в Fundamenta Mathematicae [12], третью часть — то ли я занялся другими проблемами, то ли у Е. М. Ливенсона были какие-то осложнения — написать не удалось. Впрочем, третья часть должна была быть посвящена самим проективным множествам, и ее результаты представляли совершенно непосредственное следствие результатов первых двух частей.

В январе 1930 г. по приглашению П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова мы выступили с докладами на эту тему в Московском математическом обществе. Мы были очень любезно приняты, председательствовал, если не ошибаюсь, И. И. Привалов, как всегда много вопросов задал В. В. Степанов. После доклада мы были приглашены на чай к Андрею Николаевичу и Павлу Сергеевичу, не помню точно на чью квартиру, как будто на Трубниковскую, к А. Н. Колмогорову (было немного и не чая). При этом Андрей Николаевич сообщил, что у него имеется старая рукопись, относящаяся примерно к 1921-1922 гг., которую он хочет нам передать для использования и частичного ее изложения в нашем мемуаре.

В этой рукописи содержалось определение аналитической операции над множествами, типа δs-операции Хаусдорфа, но, по-видимому, введенной раньше, чем у Хаусдорфа (небольшая часть этой работы была опубликована в 1928 г. в Математическом сборнике [4]). Мы посвятили этой работе одну из глав второй части Мемуара — «Об R-операциях А. Н. Колмогорова». Это не было буквальным воспроизведением — некоторые его теоремы были даны с другими доказательствами, приведен ряд дополнительных теорем, часть рукописи не нашла отражения в нашей работе. Андрей Николаевич категорически запретил указывать время написания его рукописи. Нашей ошибкой было то, что по молодости мы не включили эту работу в полном изложении, и впервые целиком она вышла уже в сочинениях А. Н. Колмогорова.

Поскольку теоремы о проективных множествах предполагалось изложить в третьей части Мемуара, которая не была опубликована, и о них говорилось только во введении, примерно в 1936 г. академик Казимеж Куратовский опубликовал доказательства этих теорем. Это вынудило нас опубликовать в 1937 г. в Comptes Rendus небольшую заметку [14], в которой были приведены полные доказательства этих теорем, каждое из которых требовало лишь одного абзаца и опиралось на опубликованные результаты Мемуара.

Об этих работах мы докладывали также на Первом всесоюзном математическом съезде, состоявшемся в Харькове в 1930 г. Это было большим событием для нас, но доклад прошел не очень удачно. Дело в том, что параллельно на другой секции был поставлен доклад Бориса Николаевича Делоне о четырехмерном кино и все повалили на это кино, даже специалисты по теории множеств, хотя они и извинились перед нами. С кино конкурировать трудно.

Съезд прошел очень интересно, я познакомился (или встретился, во всяком случае) с такими математиками, как Адамар, Монтель, Бляшке, Фреше, Данжуа, а также с русскими математиками. Председателем был С. Н. Бернштейн, с которым я познакомился раньше, а из более молодых — Марк Григорьевич Крейн, Лев Семенович Понтрягин, Александр Осипович Гельфонд, Михаил Алексеевич Лаврентьев, Мстислав Всеволодович Келдыш, который тогда был еще студентом третьего курса, а я уже был перед получением диплома.

В переводе на русский язык книги Хаусдорфа [15] в редакции П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова имеется ссылка на наши работы и краткое их изложение. Впоследствии, как известно, ряд более тонких исследований в этом направлении был осуществлен П. С. Новиковым, Матукети Кондо, а также А. А. Ляпуновым и другими авторами.