Этими вопросами я и занимался не так много, да и результаты не очень значительны, но все же творческая работа в этой области имела для меня большое значение в дальнейшем.

Работа началась случайно. В ожидании ученика, который запаздывал, я просматривал XIII том Fundamenta Mathematicae и увидел в нем заметку московского математика И. Н. Хлодовского, связанную с полиномами С.Н. Бернштейна. В ней я впервые увидел полиномы Бернштейна, которые были им предложены в 1912 году для элементарного доказательства известной теоремы Вейерштрасса, использующего вероятностные соображения. Мне сразу подумалось, а нельзя ли в этих полиномах заменить значение функции в отдельных точках на более устойчивые средние значения функции в соответствующем интервале.

Это оказалось возможным, и полиномы в таком виде могли быть написаны уже не только для непрерывной, но и для любой суммируемой по Лебегу функции. Мне удалось показать, что такие полиномы, как я их назвал, полиномы в форме С. Н. Бернштейна, сходятся почти везде к значениям порождающей функции.

Без труда были построены такого же рода полиномы для функций первого класса Бэра и установлена их сходимость всюду, за исключением множества точек первой категории. Соответствующие две заметки были опубликованы в Докладах Академии наук за 1930 г. [16] и составили содержание моего второго доклада на Всесоюзном математическом съезде. Там же было отмечено почти очевидное следствие, относящееся к первой теореме, что последовательность самих полиномов Бернштейна для любой абсолютно непрерывной функции допускает почти везде почленное дифференцирование.

В другой небольшой работе [17], также используя полиномы в форме С. Н. Бернштейна, я доказываю возможность аналогичного представления произвольной измеримой функции во всех ее точках аппроксимативной непрерывности. К рассматриваемому циклу относится также работа [18], в которой решается задача о том, насколько ухудшится приближение непрерывной функции многочленами, если потребовать, чтобы коэффициенты этих многочленов были целыми числами. Эти исследования были продолжены Александром Осиповичем Гельфондом в 1955 году [19].

Наиболее интересной из этого цикла является работа о сходимости полиномов С. Н. Бернштейна за пределами основного интервала [20]. Именно, в ней доказывается, что для аналитической, а также для кусочно-аналитической функции сходимость обычных полиномов Бернштейна имеет место в надлежащей области голоморфности функции. В простейшем случае, для аналитической функции — это наибольший эллипс с фокусами 0 и 1, в котором функция остается регулярной. Правда, в доказательстве одной из теорем имеется лакуна — во время корректуры мне казалось, что я ее закрыл, и не вносил правки в печатный текст. Позже выяснилось, что это не совсем так, но я уже не имел возможности к этому возвращаться.

Факт сходимости полиномов Бернштейна в комплексной области оказался неожиданным даже для самого Сергея Натановича. Им было опубликовано несколько работ, в которых эти исследования были продолжены и получены более тонкие и точные результаты [23] - [25] 13.

Для меня важно, что в связи с этими работами я более глубоко ознакомился с конструктивной теорией функций, прочел основной мемуар С.Н. Бернштейна — его знаменитую докторскую диссертацию, хорошо написанную книгу Валле-Пуссена, а также неплохой курс В. Л. Гончарова. Творческое знакомство с конструктивной теорией функций было мною в дальнейшем многократно использовано в различных работах по чистой и прикладной математике.

Наконец, в заключение отмечу, что в вышедшей в ФРГ небольшой специальной монографии Г. Р. Лоренца 14часть моих результатов изложена, часть опущена, но имеются и неточности, в частности, теорема о почленной дифференцируемости последовательности полиномов Бернштейна приписана другому лицу.